열전달 기초
Incropera 『열전달』 8판 1장과 절별정리 PDF를 바탕으로 만든 초안이다. 필기로 교체·검수 예정.
학습목표
- 전도·대류·복사를 기구(무엇이 열을 나르는가)로 구분할 수 있다
- 세 방식의 전달률 식을 쓰고, 주어진 조건에서 열유속을 계산할 수 있다
- 검사체적과 검사표면에 에너지 보존을 세워 미지 온도나 열전달률을 구할 수 있다
- 열저항으로 바꿔 어느 방식이 지배적인지 판단할 수 있다
1.1 열전달이란 무엇이며 어떻게 전달되는가?
열전달은 온도차 때문에 이동 중인 열에너지다. 온도차가 있으면 반드시 열전달이 일어나고, 그 방식은 세 가지뿐이다.
| 방식 | 언제 | 무엇이 나르나 |
|---|---|---|
| 전도 | 매체(고체·정지 유체) 안에 온도구배가 있을 때 | 분자·격자진동·자유전자 |
| 대류 | 표면과 움직이는 유체 사이 | 분자 확산 + 유체의 덩어리 운동 |
| 복사 | 유한 온도의 모든 표면 | 전자기파 (매체 불필요) |
열역학은 평형 상태 사이에서 에너지가 얼마나 옮겨졌는지를 다룬다. 열전달은 그 일이 얼마나 빨리 일어나는지, 즉 전달률(rate, W)을 다룬다. 같은 커피가 식는 문제라도 열역학은 "최종 온도"를, 열전달은 "10분 뒤 온도"를 답한다.
1.2 물리적 근원과 전달률 방정식
전도
전도는 분자 활동에 의한 에너지 확산이다. 기체·액체에서는 분자 충돌이, 고체에서는 격자 진동(포논)과 자유전자가 에너지를 나른다. 금속이 열을 잘 전하는 이유는 자유전자 때문이다.
1차원에서는 Fourier 법칙이 성립한다.
$$q''_x = -k\frac{dT}{dx}\qquad [\text{W/m}^2]$$
정상상태 평면벽에서 온도가 선형이면 $q''_x = k\dfrac{T_1-T_2}{L}$ 이고, 열전달률은 면적을 곱한 $q_x = q''_x A$ [W] 다.
"음(−) 부호는 그냥 관례다"
부호에는 물리가 들어 있다. $dT/dx < 0$ (오른쪽으로 갈수록 차가움)일 때 $q''_x > 0$ 이 되도록, 즉 열이 온도가 낮아지는 방향으로 흐른다는 제2법칙을 식에 박아 넣은 것이다. 부호를 빼먹으면 열이 차가운 곳에서 뜨거운 곳으로 흐르는 답이 나온다.
대류
대류는 분자 확산에 유체의 거시적 운동이 더해진 것이다. 표면 바로 위에는 유체 속도가 0인 층이 있어서 거기서는 전도로만 열이 건너가고, 그 위에서 흐름이 열을 쓸어간다. 이 과도 영역이 속도·열 경계층이다.
$$q'' = h\,(T_s - T_\infty)\qquad \text{(Newton의 냉각법칙)}$$
$h$ 는 물성치가 아니라 유동 조건이 다 녹아 있는 계수다. 대략적인 크기는 다음과 같다.
| 과정 | $h$ [W/m²·K] |
|---|---|
| 기체 자연대류 | 2–25 |
| 기체 강제대류 | 25–250 |
| 액체 강제대류 | 100–20,000 |
| 비등·응축 (상변화) | 2,500–100,000 |
복사
절대온도가 0이 아닌 모든 표면은 전자기파로 에너지를 내보낸다. 흑체의 방사력은 $E_b = \sigma T_s^4$ 이고, 실제 표면은 방사율 $\varepsilon$ 을 곱한다.
$$E = \varepsilon\sigma T_s^4,\qquad \sigma = 5.67\times10^{-8}\ \text{W/m}^2\text{K}^4$$
큰 주위($T_{sur}$)에 둘러싸인 작은 회체 표면($\alpha=\varepsilon$)의 순 복사 열유속은
$$q''_{rad} = \varepsilon\sigma(T_s^4 - T_{sur}^4) = h_r(T_s - T_{sur}),\qquad h_r = \varepsilon\sigma(T_s+T_{sur})(T_s^2+T_{sur}^2)$$
$h_r$ 로 선형화해 두면 대류와 같은 꼴이 되어 둘을 더하기 쉽다.
표면 $T_s = 400\ \text{K}$, 주위 $T_{sur} = 300\ \text{K}$, $\varepsilon = 0.8$, 공기 자연대류 $h = 10\ \text{W/m}^2\text{K}$
| 대류 | $10 \times 100 = 1{,}000\ \text{W/m}^2$ |
| 복사 | $0.8 \times 5.67\times10^{-8}(400^4 - 300^4) = 794\ \text{W/m}^2$ |
| $h_r$ | $794/100 \approx 7.9\ \text{W/m}^2\text{K}$ |
자연대류에서는 복사가 대류와 같은 급이다. "복사는 고온에서만 중요하다"는 생각은 기체 자연대류에서는 틀린다.
열저항
전기회로에서 전류 = 전압차 / 저항이듯, 열전달률 = 온도차 / 열저항으로 쓸 수 있다.
$$R_{t,cond} = \frac{L}{kA},\qquad R_{t,conv} = \frac{1}{hA},\qquad R_{t,rad} = \frac{1}{h_r A}$$
같은 표면에서 대류와 복사가 동시에 일어나면 두 저항은 병렬이다. 이 사고방식은 1차원 정상 열전도에서 직렬·병렬 회로로 본격적으로 쓰이고, 유체 및 열 시스템에서는 열용량과 묶여 동적 모델이 된다.
1.3 열역학과의 관계
제1법칙 — 검사체적
열전달 문제는 거의 언제나 전달률 형태의 에너지 보존에서 출발한다.
$$\dot E_{in} - \dot E_{out} + \dot E_g = \frac{dE_{st}}{dt}$$
| 항 | 뜻 | 예 |
|---|---|---|
| $\dot E_{in}, \dot E_{out}$ | 경계를 지나는 에너지 | 전도·대류·복사, 유체 유입·유출 |
| $\dot E_g$ | 내부 발생 (체적 현상) | 전기저항 발열, 화학반응 |
| $\dot E_{st}$ | 저장 에너지 변화율 | 온도 상승 |
정상유동 개방계에서 이상기체나 비압축성 유체라면 $q = \dot m c_p (T_{out} - T_{in})$ 으로 간단해진다.
표면 에너지 평형
표면은 질량이 없으므로 들어온 만큼 나가야 한다.
$$q''_{cond} - q''_{conv} - q''_{rad} = 0$$
검사체적을 어디에 그려야 하나?
구하려는 값이 표면 온도면 표면에, 내부 온도 변화면 물체 전체에 그린다. 표면에 그리면 $\dot E_g$, $\dot E_{st}$ 가 자동으로 0이 되어 식이 짧아진다. 반대로 물체 전체에 그리면 표면 사이를 오가는 내부 전도가 보이지 않는다. 풀이 첫 줄에 검사면을 그림에 점선으로 표시하는 습관이 이 혼동을 없앤다.
제2법칙과 열기관 효율
Carnot 효율은 $\eta_C = 1 - T_c/T_h$ 지만, 실제 기관은 열원과 작동유체 사이에 열저항이 있어서 작동유체가 보는 온도는 $T_{h,i} < T_h$, $T_{c,i} > T_c$ 가 된다. 그래서 실제 효율은 $1 - T_{c,i}/T_{h,i}$ 로 떨어진다. 열전달을 좋게 하면 효율이 오른다는 것이 열전달과 열역학의 연결점이다.
1.4 단위와 차원
| 물리량 | 기호 | 단위 |
|---|---|---|
| 열전달률 | $q$ | W |
| 열유속 | $q''$ | W/m² |
| 단위 길이당 열전달률 | $q'$ | W/m |
| 체적 열발생률 | $\dot q$ | W/m³ |
| 대류계수 | $h$ | W/m²·K |
| 열전도율 | $k$ | W/m·K |
온도차는 K와 °C가 같다. 하지만 복사식과 절대온도가 들어가는 곳에는 반드시 K를 쓴다. $T^4$ 에 섭씨를 넣으면 답이 전혀 다르게 나온다.
1.5 열전달 문제의 해석: 방법론
교재의 모든 예제가 같은 순서를 따른다.
- 알려진 것 — 문제를 한두 줄로 요약
- 구할 것
- 개략도 — 검사면과 열전달 경로 표시
- 가정 — 정상/과도, 1차원, 물성 일정, 복사 무시 등
- 물성치 — 부록 표, 평가 온도 명시
- 해석 — 보존법칙 + 전달률 식, 숫자는 맨 마지막에
- 설명 — 결과의 의미, 가정의 영향
결과보다 가정과 물성 근거를 남기는 게 핵심이다. 답이 틀렸을 때 어느 가정에서 틀렸는지 거슬러 올라갈 수 있기 때문이다.
1.6 열전달의 관련성
| 분야 | 예 |
|---|---|
| 에너지 변환 | 보일러·응축기, 터빈 블레이드 냉각, 연료전지 |
| 전자기기 | 칩 냉각 — 휜, 히트파이프, 액체냉각 |
| 제조 | 주조·용접·열처리, 반도체 공정 |
| 생체·환경 | 체온 조절, 건물 단열 |
설계 목표는 결국 둘 중 하나다. 열전달을 촉진하거나(냉각) 억제하거나(단열).
1.7 요약
| 방식 | 전달률 식 | 저항 |
|---|---|---|
| 전도 | $q''_x = -k\,dT/dx$ | $L/kA$ |
| 대류 | $q'' = h(T_s-T_\infty)$ | $1/hA$ |
| 복사 | $q'' = \varepsilon\sigma(T_s^4-T_{sur}^4)$ | $1/h_rA$ |